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C. Arbitragesituationen mit Terminkontrakten sowie Kauf- und Verkaufsoptionen mit gleichem Ausübungskurs für europäische Optionen

1. Vorbemerkung: dekursive und stetige Verzinsung

XXXX_S.100_text 2,71828... bedeutet. 

Dekursive Zinssätze und konforme stetige Zinssätze (= stetige Zinssätze, die zum gleichen Endkapital führen wie die dekursiven Zinssätze) stehen in folgendem Verhältnis: Wird mit i* der dekursive Zinssatz, mit i (ohne Stern) der stetige Zinssatz, mit e die Basis des natürlichen Logarithmus und mit T die Geldanlageperiode bezeichnet, so gilt:  

(1 +i*)T = eln(1+i*) · T = ei · T

Der Faktor 
- ei · T ist der Aufzinsungsfaktor (1+i*)T,
- e-i · T ist der Abzinsungsfaktor 1/(1+i*)T und
- e(ic-id)·T ist der Quotient (1+ic)T/(1+id)T

Die Umrechnung von stetiger in dekursive Verzinsung und umgekehrt wird auch in Kapitel X.A.1.a erläutert. In den Beispielrechnungen wird mit dekursiver Verzinsung gerechnet, die dem Bankpraktiker vertraut ist.  

2. Die Put-Call-Parität für europäische Optionen 

Die Put-Call-Parität läßt sich anhand von Arbitrageüberlegungen herleiten. Stellt man ein Portefeuille aus den folgenden Positionen zusammen:

  - Kauf einer Verkaufsoption (Put) p, 
- Kauf des mit der Differenz zwischen Bestandshaltekosten ic und kurzfristigem Zinssatz id aufgezinsten optierbaren Objektes S · e(ic-id)·T,
 - Begebung einer Anleihe (= Darlehensaufnahme) in Höhe des mit dem kurzfristigen Zinssatz abgezinsten Ausübungskurses K · e-id ·T und - Verkauf einer Kaufoption (Call) c, 
so ist der Wert des Portefeuilles am Ende der Laufzeit der Optionen unabhängig von der Höhe des Kassakurses des optierbaren Objektes S immer gleich Null. Man hat ein risikoloses Hedge-Portefeuille, das folgendermaßen aussieht:

Tabelle 8.3: Hedge-Portefeuille zur Herleitung der Put-Call-Parität mit Hilfe von Kassakontrakten

Position

Zahlungsmitteleingang(+)
Zahlungsmittelausgang(-)

Gegenwärtiger Zeitpunkt Ergebnis bei Fälligkeit, wenn
S* > K S* = K S* < K
Kauf des Put

Kauf des optierbaren Objektes

Darlehnsaufnahme

Verkauf des Call

-p

-S ·
e(ic-id)·T

-K · e-id ·T

c

0

S*

-K

-(S* - K)

0

-S*

-K

0

K-S*

S*

-K

0

Summe -p -S · e(ic-id)·T-K · e-id ·T+c 0 0

Beispiel: 
Aktienkurs S = 240;
Ausübungskurs K = 240;
Volatilität ó = 0,25;
inländischer Zinssatz id = 9% p.a.;
D = 4DM entspricht stetige Dividendenrendite d* = 1,67 p.a.% entspricht ic*
T2 = 1 Jahr;
die Dividende fällt am ersten Tag der Laufzeit der Option an; europäische Optionen = Optionen sind nur am Ende der Laufzeit ausübbar:

-P-S · (1+ic*)/(1+id*)+K/(1+id*)-c=0;
-16-240 · 1,073/1,09+240/1,09+32=0;
-16-236+220+32=0.

Der gekaufte Put verfällt, wenn der Kurs des optierbaren Objekts größer oder gleich dem Ausübungskurs ist. Der Ertrag aus dem Put bei Fälligkeit ist dann Null. Der Put wirft bei Fälligkeit die Differenz zwischen Ausübungskurs und Kurs des optierbaren Objekts K - S ab, wenn der Kurs des optierbaren Objekts kleiner ist als der Ausübungskurs.

S · e(ic-id)·TEinheiten des optierbaren Objekts wachsen während der Laufzeit der Optionen auf S Einheiten an, wenn ic - id negativ ist, oder vermindern sich auf S Einheiten, wenn ic - id positiv ist. Bei dividendenlosen Aktien z.B. sind die Bestandshaltekosten ic gerade gleich dem kurzfristigen Zins id, so daß e(ic-id)·T gerade e0=1 ist.

Für Rentenwerte gilt, daß die Bestandshaltekosten ic = id - ia sind, der Differenz zwischen kurzfristigem Zins und Eigenzins. Der Faktor e(ic-id)·Tist daher ein Abzinsungsfaktor in Höhe von e-ia·T. Für Aktien, die Dividenden abwerfen, tritt der Eigenzins der Aktie an die Stelle des Eigenzinses der Anleihe ia. Bei Devisen ist ic = id - if, der Differenz zwischen in- und ausländischem Zinssatz. Der Faktor e-if·T ist daher gleichfalls ein Abzinsungsfaktor. Für Waren ist ic = id + i1, so daß sich ein Aufzinsungsfaktor in Höhe von eilT ergibt. Nur im Falle, daß ein Objekt keine Erträge abwirft und Lagerkosten aufgewendet werden müssen, müssen mit Sicherheit bei der Bildung des Hedge-Portefeuilles mehr Einheiten des Objekts gekauft als später geliefert werden. Fallen sowohl Erträge als auch Lagerkosten an, so müssen mehr Einheiten des Objekts gekauft als später geliefert werden, wenn die Lagerkosten höher sind als der Eigenzins des Objekts. Für Terminkontrakte sind die Bestandshaltekosten ic Null, und der Abzinsungsfaktor ist mithin e-id·T.

Für das aufgenommene Darlehen in Höhe von K · e-id·T muß bei Auslaufen des Optionskontraktes der Betrag K zurückgezahlt werden.

Die verkaufte Kaufoption verursacht bei Fälligkeit einen Verlust von S - K, wenn der Kurs des optierbaren Objekts größer ist als der Ausübungskurs. Sie wird vom Käufer nicht ausgeübt und verursacht daher bei Fälligkeit weder Gewinn noch Verlust, wenn der Aktienkurs S kleiner oder gleich dem Ausübungskurs K ist.

Da die Summe der Erträge bei Fälligkeit in jedem Fall Null ist, und da die Position auf der anderen Seite risikolos ist, muß Gleichung (VIII.1) erfüllt sein, wenn keine Arbitragemöglichkeiten bestehen sollen:

(VIII.1) -p - S · e(ic-id)·T+ K · e-id·T + c = 0.

Umstellen von (VIII.1) ergibt die schon bekannte Formel für die Put-Call-Parität in der allgemeinen Form:

(VIII.2) c - p = S · e(ic-id)·T - K · e-id·T

Wenn die Beziehung (VIII.2) in der Weise verletzt ist, daß die Kaufoption im Vergleich zu den übrigen Komponenten überbewertet ist, so ist

(VIII.3) c > p + S · e(ic-id)·T - K · e-id·T.

In diesem Fall verkaufen wir die Kaufoption, kaufen die Verkaufsoption und das optierbare Objekt und nehmen Darlehensmittel auf wie in Tabelle 8.3 dargestellt. Wir realisieren dann heute einen positiven Geldbetrag und haben bei Fälligkeit der Optionen das sichere Ergebnis von Null. Durch diese Arbitragetransaktionen sinkt der Kurs der Kaufoption c und der Kurs der Verkaufsoption p und des optierbaren Objekts S steigen, bis Gleichung (VIII.2) erfüllt ist. Dadurch ist der durch Gleichung (VIII.2) bestimmte Wert von c eine Obergrenze für c.

Wenn die Gleichung (VIII.2) in der Weise verletzt ist, daß die Kaufoption im Vergleich zu den übrigen Komponenten unterbewertet ist, so ist

(VIII.4) C < P + S · e(ic-id)·T - K · e-id·T.

In diesem Fall kaufen wir die Kaufoption, verkaufen die Verkaufsoption und das optierbare Objekt und legen Geld zum kurzfristigen Zinssatz id an. Wir realisieren dann heute einen positiven Geldbetrag und haben bei Fälligkeit der Optionen das sichere Ergebnis von Null. Durch diese Arbitragetransaktionen steigt der Kurs der Kaufoption c und der Kurs der Verkaufsoption p und des optierbaren Objekts S fallen, bis Gleichung (VIII.2) erfüllt ist. Dadurch ist der durch Gleichung (VIII.2) bestimmte Wert von c eine Untergrenze für c.

Bei der letzteren Arbitragetransaktion kehren sich die Vorzeichen in Tabelle 8.3 gerade um. Wir unterstellen, daß short-selling, d.h. das Ausleihen des optierbaren Objekts und sein Verkauf, möglich ist. Weiter ist unterstellt, daß keine Sicherheitsleistung, sei es für Geld-, sei es für Warendarlehen, erforderlich ist, wie auch von Transaktionskosten und Steuern abstrahiert wird. Ist short-selling nicht möglich, so wird die zuletzt geschilderte Arbitragetransaktion von denjenigen durchgeführt werden, die das optierbare Objekt anderenfalls bis zum Verfallstermin der Option im Bestand gehalten hätten.

Die vorstehenden Arbitrageüberlegungen vereinfachen sich noch, wenn man die Existenz eines Terminhandels unterstellt. Da für einen Terminhandel anders als beim Kassakauf keine Barmittel erforderlich sind, entfällt auch die Darlehensaufnahme. Die Arbitragetafel sieht dann wie folgt aus:

Tabelle 8.4: Hedge-Portefeuille zur Herleitung der Put-Call-Parität mit Hilfe von Terminkontrakten

Position

Zahlungsmitteleingang(+)
Zahlungsmittelausgang(-)

Gegenwärtiger Zeitpunkt Ergebnis bei Fälligkeit, wenn
S* > K S* = K S* < K
Kauf des Put

Terminkauf

Verkauf des Call

-p

-

c

0

S*- F

-(S* - K)

0

-S*- F

0

K-S*

S*- F

0

Summe c - p K - F S* - F=K - F K - F

Da es sich bei den drei Geschäften um ein risikoloses Hedgegeschäft handelt, muß die Summe des Zahlungsüberschusses bei Eingehen der Position gleich der abgezinsten Summe des Zahlungsmittelfehlbetrages bei Fälligkeit der Positionen sein:

(VIII.5) cF - pF = -(K - F) · e-id·T = (F - K)  · e-id·T oder

(VIII.6) cF - pF - F  · e-id·T + K  · e-id·T = 0, was nach Gleichung

(VIII.7) F = S  · e-ic·T, die besagt, daß der Terminkurs gleich dem mit dem Faktor der Bestandshaltekosten multiplizierten Kassakurs ist, zu (VIII.1) wird.

Beispiel: Sind die Daten wie in dem Beispiel zu Tabelle 8.3, so gilt:

- pF + cF = (K - F)/(1 + id*);

F = S  · (1 + ic*).

- 16 + 32 = (240 - 258)/1,09  = 17. Die Abweichung entsteht durch Rundungen.

F = S · e(id-ia) = 240 · e0,09-0,017;

258 = 240 · (1 + 0,073).

Unabhängig von der Höhe des Zinssatzes id ist die Put-Call- Parität stets gegeben, solange der Kurs des Terminkontrkts F gleich dem Ausübungskurs K ist. Da der Optionswert dann nur aus Zeitwert besteht, kann man auch sagen: "Der Zeitwert der Kaufoption ist gleich dem Zeitwert der Verkausoption" oder "Zeitwert des Call ist gleich Zeitwert des Put". Dies sieht man auch, wenn man (VIII.6) umformt:

(VIII.6a) cF - (F - K)· e-id·T = pF und

(VIII.6b) pF - (F - K)· e-id·T = cF.

Ist F=K, so ist der mittlere Term jeweils null, und es gilt c=p. Ist die Kaufoption im Geld, so beschreibt die linke Seite von (VIII.6a) den Zeitwert der Kaufoption und der Wert der Verkaufsoption besteht nur aus Zeitwert, da sie aus dem Geld ist. Ist die Verkaufsoption im Geld, so beschreibt die linke Seite von (VIII.6b) den Zeitwert der Verkaufsoption, und die Kaufoption besteht nur aus Zeitwert, da sie aus dem Geld ist. 8.9

Ein weiteres Ergebnis des Übergangs von (VIII.4) zu (VIII.5) ist, daß Optionen auf Terminkontrakte denselben Wert haben müssen wie Optionen auf Kassakontrakte, wenn ihr Basispreis gleich ist.

Praktische Beispielrechnung:

Kurzfristiger Zins = 8,00 % p.a.,

Kurs einer VW-Aktie am 29.05.1984 = 190,20 DM/Aktie,

Kurs der Kaufoption per 15.07.1984, Basis 190 = 9,50 DM/Option,

Kurs der Verkaufsoption per 15.07.1984, Basis 190 = 4,40 DM/Option.

Während der Laufzeit der Optionen fallen keine Dividenden an.

Der große Preisunterschied zwischen Kauf- und Verkaufsoption legt einen Verkauf der Kaufoption und einen Kauf der Verkaufsoption nahe. Wie Abb. 3.7 zeigt, ergibt sich daraus ein synthetischer Terminverkauf zu 195,30 DM/Aktie, der durch einen Kassakauf gehedgt werden kann.

Abb. 8.7: Hedge-Portefeuille zur Put-Call-Parität

Beim Verfall der Option werden folgende alternative Geschäfte je nach der Höhe des Aktienkurses getätigt:

Tabelle 8.5: Geschäfte bei Fälligkeit der Optionen eines Hedge-Portefeuilles zur Put-Call-Parität

Aktienkurs  

Getätigtes Geschäft 

S* = 170 

K>S (190>170)

Verkauf der Aktie zu 190 durch Ausüben der Verkaufsoption;

Kaufoption verfällt.

S* = 190 

K=S (190=190)

 Beide Optionen verfallen; Aktien werden zu 190 verkauft. 

S* = 210

K<S (190<210)

 Als Stillhalter der Kaufoption  müssen wir die Aktien, die wir im
 Bestand hatten, zu 190 liefern; Verkaufsoption verfällt.

Kauf des Put:

Kauf der Aktie:

Darlehensaufnahme für 47 Tage
mit dem Rückzahlungswert 190 DM
= 188,06 · (1 + 0,08 · 47 / 365):

Verkauf des Call:

  - 4,40 DM

  - 190,20 DM

 + 188,06 DM

 

 + 9,50 DM

Nettoüberschuß:

+ 2,96 DM

 

Die Bestandshaltekosten von Aktien ic sind gleich dem kurzfristigen Zinssatz id, so daß die Differenz beider Zinssätze gerade Null ist. Daher wird bei Begründung des Hedge-Portefeuilles gerade eine Aktie gekauft. Etwa anfallende Dividenden spielen keine Rolle, da deutsche Aktien dividendengeschützt sind. Gleichzeitig nehmen wir bei Begründung des Hedge-Portefeuilles ein Darlehen in Höhe von 188,06 auf, das nach 47 Tagen bei Auslaufen der Optionsfrist auf 188,06 . (1 + 0,08 . 47 / 365) = 190,00 DM angewachsen ist.

Dieses Darlehen tilgen wir mit dem Erlös aus dem Aktienverkauf, der, wie Tabelle 3.5 zeigt, auf jeden Fall 190,00 DM ist. Bei der Begründung des Hedge-Portefeuilles haben wir einen Überschuß von 2,96 DM.

Der Nettoüberschuß von ca. 3,00 DM wird bei einem Aktienkurs von 190 DM aufgezehrt, wenn die Spesen für Kauf und Verkauf der Aktie ca. 1,5% ausmachen. Da für einen Kleinanleger die Spesen für Kauf und Verkauf 2 . 1,5% = 3% ausmachen, lohnt sich Arbitrage für Kleinanleger nicht, wobei Spesen für den Kauf und Verkauf der Optionen noch nicht einmal berücksichtigt sind. Für Arbitrageure, die sowohl Aktien als auch Optionen ohne Spesen handeln können, wäre Arbitrage lohnend, solange die positive Differenz zwischen dem Kurs der Kaufoption und der Verkaufsoption größer ist als die Differenz 190,20 DM - 188,06 DM = 2,14 DM.

 Man beachte, daß sich auch für Optionen, die am Geld stehen, eine positive Differenz zwischen dem Wert der Kaufoption und dem Wert der Verkaufsoption in Höhe von 1,94 DM ergibt, die aus der Verzinsung des Darlehens mit dem Rückzahlungswert des Ausübungskurses resultiert (190 - 188,06).

3. Das Verhältnis der Put-Call-Parität für Optionen auf Kassakontrakte zur Put-Call-Parität für Optionen auf Terminkontrakte

Für die derzeit gehandelten Optionen auf Terminkontrakte gilt, daß ihr Kurs an einem bestimmten Tag genauso hoch sein sollte wie der Kurs der Optionen auf Kassakontrakte an diesem Tag, wenn der Ausübungskurs der Optionen und die Verfallzeit gleich sind.

Die Kurven der Optionswerte für Optionen auf Kassakontrakte in Abhängigkeit vom Kassakurs sind gegenüber den Kurven der Optionswerte für Optionen auf Terminkontrakte in Abhängigkeit vom Terminkurs nach links (rechts) verschoben, wenn das Objekt einen Report (Deport) hat, d.h. S < F (S > F) ist. Daher muß sich für die Put-Call-Paritäten der gleiche Zusammenhang ergeben, d.h.: die Put-Call-Parität für Optionen auf Kassakontrakte in Abhängigkeit vom Kassakurs ist gegenüber der Put-Call-Parität für Optionen auf Terminkontrakte in Abhängigkeit vom Terminkurs um den Betrag F - S = S . ic* nach links (rechts) verschoben, wenn das Objekt einen Report (Deport) hat.

Algebraisch ergibt sich dieser Zusammenhang aus den Formeln für die Put-Call-Parität auf Kassainstrumente (X.1)

(VIII.2) c - P = S . e(ic-id)T - K . e-idT

und auf Termininstrumente (X.10)

(VIII.5) CF - PF = F . e-idT - K . e-idT,

was sich durch Einsetzen von 

(VIII.7) S = F . e-icT

in Formel (VIII.2) ergibt.

Dies sei für Optionen auf Kassa- und Termindevisen am Beispiel eines Report demonstriert. Ist
- der Inlandszins in den USA 10 % p.a.
- der Auslandszins in der Bundesrepublik Deutschland 7 % p.a. und
- der Terminkurs für ein Jahr 32 ø/DM,
so ist der Kassakurs

S = F . e-ic oder S = 32 . 1,07/1,1
= 31,13 ø/DM.

Bestimmen wir den Wert von Calls und Puts mit dem Ausübungskurs von 32 ø/DM auf Kassa-DM, so stellen wir bei Zugrundelegung eines Õ von 0,2 und einer Laufzeit der Optionen von einem Jahr fest, daß der Wert des Call gerade beim Kassakurs von 31,13 ø/DM gleich dem Wert des Put ist. Die Werte von Calls und Puts auf Termin-DM mit dem Ausübungskurs von 32 ø/DM sind bei einem Terminkurs von 32 ø/DM gerade gleich. Der Wert der Optionen besteht nur aus Aufgeld, wenn diese am Geld stehen, und wir hatten bei der Erörterung der Put-Call-Parität auf Terminkontrakte den Satz aufgestellt (Gleichungen VIII.6 und b), daß in diesem Fall das "Aufgeld des Call gleich dem Aufgeld des Put" ist. Die Put-Call-Parität von Optionen auf Kassadevisen in Abhängigkeit vom Kassakurs ist daher gegenüber der Put-Call-Parität von Optionen auf Termindevisen in Abhängigkeit vom Terminkurs gerade um die Differenz

F - S = S . ic* ,

32 - 31,13 = 31,13 . 0,028
= 31,13 (eln(1,1/1,07)-1)

nach links verschoben (Abb. 8.8).

 

¦ Call- und Putwerte auf Kassadevisen in Ab- ¦

¦ hängigkeit vom Kassakurs ¦

¦ Call- und Putwerte auf Termindevisen in Ab- ¦

¦ hängigkeit vom Terminkurs ¦

¦ (K = 32,00 ø/DM; T = 1 Jahr; Õ = 0,20; ¦

¦ id = 10 % p.a.; if = 7 % p.a.; ¦

¦ S* = 31,13 ø/DM; F* = 32,00 ø/DM) ¦

Abb. 8.8: Call- und Putwerte auf Kassadevisen in Abhängigkeit vom Kassakurs im Vergleich zu Call- und Putwerten auf Termindevisen in Abhängigkeit vom Terminkurs

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