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B. Arbitragesituationen für Verkaufsoptionen

Entsprechend den Arbitragebeziehungen für Kaufoptionen lassen sich solche für Verkaufsoptionen bilden.

1. Arbitragebeziehungen zwischen Verkaufsoption und Aktie

(1) Der Wert einer amerikanischen Verkaufsoption ist niemals niedriger als ihr innerer Wert.

(2) Der Wert einer Verkaufsoption ist niemals höher als der Ausübungskurs.

(3) Wenn die Möglichkeit von Terminverkäufen oder short selling besteht, ist der Wert einer europäischen Verkaufsoption niemals niedriger als K ·  r -t - S für "dividendengeschützte" 8.6 Optionen oder (D + K) ·  r -t - S für nicht dividendengeschützte Optionen, wobei r den Zinsfaktor (1 + i) und D die Dividende bedeutet.

Arbitragebedingung (2) stellt die Obergrenze und Arbitragebedingung (3) die Untergrenze des Wertes der Verkaufsoption dar. Daraus ergibt sich

K = P = max [0, K - S, K ·  r -t - S]

für dividendengeschützte amerikanische Optionen.

Sind die Verkaufsoptionen nicht dividendengeschützt, so erhöht sich die Untergrenze K ·  r -t - S noch um den Wert der Dividenden.

Die erste Arbitragebedingung gilt, weil die amerikanische Verkaufsoption gekauft und sofort ausgeübt würde, wenn ihr Preis unter dem inneren Wert läge.

Europäische Verkaufsoptionen hingegen können nur dann nicht unter ihren abgezinsten inneren Wert sinken, wenn
(1) die Möglichkeit von Terminkäufen besteht und
(2) der Terminkurs den Kassakurs nicht überschreitet. 

Selbst dann kann aber Wert der Verkaufsoption auf K ·  r -t - S sinken. Man sieht das am deutlichsten, wenn man den Wert einer ewig laufenden europäischen Option betrachtet: Da für t gegen unendlich K ·  r -t = 0 ist, ist der Wert einer solchen Verkaufsoption auch gleich Null, selbst wenn man sich sofort zum Preis von Null eindecken oder die Aktie per Termin zum Preis von Null kaufen kann.

Die zweite Arbitragebedingung gilt, weil die Verkaufsoption sofort verkauft würde, wenn ihr Wert über dem Ausübungskurs läge. Im schlimmsten Falle bekäme man dann eine wertlose Aktie für einen Betrag in Höhe des Ausübungskurses und hätte einen Gewinn gemacht.

Das bedeutet, daß in Abb. 8.4 die waagerechte Linie in Höhe von K die Obergrenze des Werts der Verkaufsoption darstellt. Der Wert einer amerikanischen Verkaufsoption kann nicht in der schraffierten Zone liegen.

Abb. 8.4: Grenzen des Werts einer Verkaufsoption in Abhängigkeit vom Aktienkurs

(FEHLT IN DER 3. AUFLAGE) Die dritte Arbitragebedingung ist nur für nicht dividendengeschützte Verkaufsoptionen relevant, da für dividendengeschützte K - S > K ·  r -t - S ist. (D + K) ·  r -t - S kann aber größer sein als K - S, wenn der Effekt der Dividende den Effekt der Abzinsung überkompensiert. Durch Abwarten der Dividendenzahlung vergrößert sich dann der Wert der Verkaufsoption. Durch ein Eindecken mit der Aktie kann das Engagement dennoch glattgestellt werden. Wir erhalten durch ein Glattstellen mittels eines Kaufs der Aktie eine Position, die wertvoller ist als die sofortige Ausübung.

Daß der Wert einer dividendengeschützten europäischen Option nicht unter K ·  r -t - S sinken kann, soll durch eine Arbitragetafel dargestellt werden, in der die Ergebnisse eines Aktienkaufs, des Kaufs einer Verkaufsoption und der Aufnahme eines Darlehens in Höhe von K ·  r -t dargestellt werden:

Tabelle 8.2: Arbitragetafel für die Untergrenze des Wertes einer Verkaufsoption

Transaktion Einzahlung (+)
Auszahlung (-)
Gegenwärtiger Zeitpunkt Zukünftiger Zeitpunkt
S* < K S* > K
Kauf der Aktie

Kauf der Verkaufsoption

Aufnahme eines Darlehens

-S

-P

K ·  r -t

S*

K - S*

-K
S*



-K
Insgesamt K ·  r -t - P- S - S* - K

 

Die Summe der Transaktionen addiert sich zu einer Kaufoption. Diese Kaufoption muß als wertvolles Objekt einen positiven Wert haben, so daß die Summe dessen, was man heute dafür zahlen muß, einen negativen Betrag ergeben muß, m. a. W.: die Kaufoption muß einen Preis haben.

Daher gilt:

K · r -t - P - S < 0 oder

P > K · r -t - S.

Sänke der Wert einer nicht dividendengeschützten amerikanischen Verkaufsoption unter (D + K) · r -t - S, so wäre

P < (D + K) · r -t - S oder

0 < (D + K) · r -t - S - P.

Eine Darlehensaufnahme in Höhe von (D + K) · r -t, der Kauf der Aktie und der Kauf einer Verkaufsoption würden dann sofort einen positiven Geldbetrag und nach Tabelle 8.2 zusätzlich ein wertvolles Recht bei Fälligkeit, nämlich eine Kaufoption, ergeben.

Zusätzlich zu den in Tabelle 3.2 aufgeführten Werten müßte das Darlehen in Höhe von D getilgt werden, was durch die Dividende, die zwischenzeitlich aus der Aktie geflossen ist, ermöglicht wird.

2. Arbitragebedingungen zwischen Verkaufsoptionen mit unterschiedlichen Ausübungskursen

(1) Der Wert einer Verkaufsoption kann niemals kleiner sein als der Wert einer anderweitig identischen Verkaufsoption mit niedrigerem Ausübungskurs:

P(K2) = P(K1), wenn K2 > K1.

(2) Die Differenz der Werte zweier anderweitig identischer Verkaufsoptionen ist niemals größer als die Differenz ihrer Ausübungspreise:

K2 - K1 = P(K2) - P(K1), wenn K2 > K1.

(3) Von drei anderweitig identischen Verkaufsoptionen mit Ausübungskursen K3 > K2 > K1 ist der Wert der mittleren Verkaufsoption niemals größer als der gewogene Durchschnitt des Werts der äußeren Verkaufsoptionen, wobei die Gewichte für die erste Verkaufsoption
(K3 - K2)/(K3 -K1) und für die dritte Verkaufsoption (K2 - K1)/(K3 - K1) sind:

P(K2) < [(K3 - K2)/(K3 - K1)] · P(K1) + [(K2 - K1)/(K3 - K1)] · P(K3).

Die drei Sätze seien an einem Zahlenbeispiel für eine amerikanische Option erläutert:

Aktienkurs S = 240, 
annualisierte Volatilität ó= 0,25,
inländischer Zinssatz id = 9% p.a.,
stetige Dividendenrendite d = 1,67 % p.a.,
Laufzeit der Kaufoption in Jahren T = 1.

Beispiel für Satz (1): P(260) > P(220) = 27 > 9.

Beispiel für Satz (2): 260 - 220 > 27 - 9 =18.

Beispiel für Satz (3): K1 = 220, K2 = 240, K3 = 260;
(260 - 240)/(260 - 220) = 0,5;
(240 - 220)/(260 - 220) = 0,5;
17 <
0,5 · 9 + 0,5 · 27= 18.

Wenn die erste Bedingung verletzt wäre, so könnte man die billigere Verkaufsoption P(260) kaufen und die teurere P(260) verkaufen, wodurch man sofort einen Zahlungsüberschuß hätte. Wäre bei der Ausübung der Verkaufsoption S* > 26, so verfielen beide Puts, wäre S* < 220, hätte man noch einmal einen Zahlungsüberschuß in Höhe der Differenz der Ausübungspreise von 40 und wäre 260 > S* 220, so läge der zusätzliche Gewinn zwischen null und vierzig. Der Zusammenhang zwischen dem Preis der Verkaufsoption und dem Ausübungskurs ist in Abb. 8.5 graphisch dargestellt.

Auch wenn die zweite Bedingung nicht erfüllt wäre, wenn also die Differenz der Ausübungskurse in Höhe von 40 kleiner wäre als die der Preise der Verkaufsoptionen, die statt 18 mit 45 angenommen werden soll, so wäre es sinnvoll, die Verkaufsoption P(260) mit dem höheren Preis zu verkaufen und die Verkaufsoption P(220) mit dem niedrigeren Preis zu kaufen. Der Zahlungsüberschuß im gegenwärtigen Zeitpunkt wäre dann auf jeden Fall höher als die Differenz der Ausübungskurse bei eventueller Ausübung der Verkaufsoption.

Auf den dritten Beweis wird wiederum verzichtet und insofern auf Cox/Rubinstein verwiesen. 8.7

Abb. 8.5: Grenzen des Werts einer Verkaufsoption in Abhängigkeit vom Ausübungskurs

Wieder kann der Wert der Verkaufsoption nicht im schraffierten Gebiet liegen.

3. Arbitragebedingungen zwischen Verkaufsoptionen mit unterschiedlichen Verfallzeiten

Der Wert einer Verkaufsoption kann niemals kleiner sein als der Wert einer anderweitig identischen Verkaufsoption mit einer kürzeren Verfallzeit:

P(t2) = P(t1), wenn t2 > t1.

Beispiel: 
Aktienkurs S = 240, 
Ausübungskurs K = 240, 
Volatilität ó = 0,25, 
inländischer Zinssatz id = 9% p.a.,
 stetige Dividendenrendite d = 1,67 p.a.%,
 T2 = 1 Jahr,
 T1 = 0,25 Jahre.

P(1) > P(0,25) = 17 > 10.

Wenn es anders wäre, würde man wiederum die Verkaufsoption mit der längeren Laufzeit kaufen und die mit der kürzeren Laufzeit verkaufen und erhielte sofort einen Zahlungsüberschuß. Würde man als Stillhalter in Anspruch genommen, so würde man die andere gekaufte Option ausüben. Nach Ablauf der kürzerfristigen Option, bei der man Stillhalter ist, verbliebe zusätzlich zu dem Zahlungsüberschuß eine Verkaufsoption. Die Bedingung ist in Abb. 8.6 illustriert.

Abb. 8.6: Wert amerikanischer Verkaufsoptionen mit unterschiedlichen Laufzeiten

Der Wert einer amerikanischen Verkaufsoption, die keine Dividende abwirft, verringert sich, wenn die Laufzeit plötzlich verkürzt wird. Daraus kann man aber nicht schließen, daß es sich nie lohnt, eine amerikanische Option vorzeitig auszuüben. Spätestens wenn der Kurs der Aktie auf Null gesunken  ist, ist es sinnvoll, die Verkaufsoption auszuüben. Durch längeres Warten kann ihr Wert nicht über den Ausübungskurs K steigen, wohingegen die Verzinsung von K verlorengeht. 8.8 Für Aktienkurse, die im Vergleich zum Ausübungskurs sehr niedrig sind, kann es sich daher lohnen auch dividendengeschützte Verkaufsoptionen vorzeitig auszuüben.

Für nicht dividendengeschützte Verkaufsoptionen besteht ein Anreiz, mit dem Ausüben der Option zu warten, bis die Dividende gezahlt worden ist und der Aktienkurs sich entsprechend verringert hat. Die Verkaufsoption sollte in der Regel nicht ausgeübt werden, solange der Gegenwartswert der Dividenden, die bis zum Ende der Laufzeit der Option anfallen, größer ist als die Zinsen, die durch Anlage des Ausübungskurses erlangt werden können.

Weitere Arbitragebeziehungen bestehen zwischen Kaufoptionen einerseits sowie Verkaufsoptionen andererseits bei gleichem Ausübungskurs sowie zwischen Kauf- und Verkaufsoptionen verschiedener Ausübungskurse. Sie führen zur sogenannten "Put-Call-Parität", die im folgenden Kapitel erörtert wird.

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