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VIII. Arbitragesituationen

A. Arbitragesituationen mit Kaufoptionen 8.1

1. Arbitragebeziehungen zwischen Optionen und Aktie

(1) Der Wert einer amerikanischen Option ist niemals niedriger als der innere Wert.

(2) Der Wert einer Kaufoption ist niemals höher als der Aktienkurs.

(3) Wenn die Möglichkeit von Terminverkäufen oder short selling besteht, ist der Wert der Kaufoption niemals niedriger als S - K ·  r -t für dividendengeschützte Optionen oder S - K ·  r -t - D für nicht dividendengeschützte Optionen.

Aus diesen drei Bedingungen folgt:

S = C = max [0, S - K, S - K ·  r -t]

für dividendengeschützte Optionen, wobei r den Zinsfaktor (1 + i) und D die Dividende bedeuten.

Der Wert einer amerikanischen Option kann niemals unter den inneren Wert sinken, da sie andernfalls ausgeübt würde. Für europäische Optionen gilt dieser Satz zunächst nicht. Europäische Kaufoptionen können nur dann nicht unter ihren inneren Wert sinken, wenn Terminverkäufe möglich sind und Terminkurs gleich Kassakurs ist. Diese Bedingung ist beim short selling 8.2 erfüllt. Die durch die Kombination einer Kaufoption mit einem Terminverkauf erlangte Position ist wertvoller als Ausüben der Option (vgl. Abb. 6.4)

Andererseits kann der Wert der Kaufoption nie über den Wert der Aktie steigen, da die Option im Vergleich zur Aktie weniger Rechte gewährt (kein Stimmrecht, keine Dividende). Bildlich gesprochen: Das Recht ein Auto zu kaufen kann nie mehr wert sein als das Auto selbst, mit dem man ja fahren kann. Man kann sich dies auch auf andere Weise klar machen: Wird der Ausübungskurs der Option auf Null gesenkt, so verschiebt sich die 45°-Linie in Abb. 8.1, die im Punkte K beginnt, nach links und wird kongruent mit der 45°-Linie vom Koordinatenursprung aus. Noch eine dritte Überlegung: Eine Aktie beinhaltet keine Verpflichtungen. Daher kann die Aktie in die Schublade gelegt und als nicht existent betrachtet werden. Bei Bedarf holt man sie dann hervor. Dies entspricht einer ewigen Option mit dem Ausübungspreis von Null. Eine ewige Kaufoption mit dem Ausübungspreis von Null ist aber die wertvollste Kaufoption, die man sich vorstellen kann. Daher kann eine Kaufoption nie mehr wert sein als die Aktie. Der Wert einer amerikanischen Kaufoption kann in Abb. 8.1 nicht im schraffierten Gebiet liegen.

Abb. 8.1: Grenzen für den Wert einer Kaufoption

Der dritte Satz, C > S - K ·  r -t, gilt nur, wenn short selling möglich ist. Besteht die Möglichkeit von Leerverkäufen, so hat das Halten einer Kaufoption gegenüber ihrer Ausübung den Vorteil, daß die Zinskosten auf den Ausübungskurs K bis zum Auslaufen der Option gespart werden können. Die 45°-Linie, der sich der Preis der Kaufoption asymptotisch nähert, liegt somit um einen kleinen Betrag links von der in K beginnenden 45°-Linie. Durch short selling läßt sich immer eine Position erreichen, die wertvoller ist als das Ausüben der Option, eine Verkaufsoption nämlich, die immer mehr wert ist als eine ausgeübte Option, die nichts mehr wert ist.

Diesen Zusammenhang kann man auch durch eine Arbitragetafel illustrieren. Der Kauf einer Kaufoption, ein Leerverkauf (short sale) und der Kauf einer Anleihe in Höhe des abgezinsten Ausübungskurses addieren sich zu einer Verkaufsoption. Die Summe der Transaktionen beinhaltet mithin kein Risiko. Ihr Gegenwartswert muß größer als Null sein, da die Verkaufsoption einen positiven Wert haben muß; oder anders ausgedrückt: man muß für diese Position etwas bezahlen. Daher muß die Summe
S - C - K ·  r -t < 0 oder

C = S - K ·  r -t sein.

Tabelle 8.1: Arbitragetafel für die Untergrenze des Wertes einer Kaufoption. S* ist der Aktienkurs im Zeitpunkt der Liquidation des Portefeuilles.

Transaktion Einzahlung (+)
Auszahlung (-)
Gegenwärtiger Zeitpunkt Zukünftiger Zeitpunkt
S* < K S* > K
short selling

Kauf einer Kaufoption

Kauf von Anleihen

S

-C

-K ·  r -t

-S*

-

K
-S*

S* - K

K
Insgesamt S - C - K ·  r -t K - S*  -

 

Der so ermittelte Minimalwert C muß für nicht dividendengeschützte Optionen um die Dividenden nach unten korrigiert werden, die für die geliehenen Aktien bezahlt werden müssen.

Wäre der Preis einer nicht dividendengeschützten Kaufoption kleiner als S - K . r-t - D, so wäre

C < S - K ·  r -t D oder

0 < S - K ·  r -t - D - C.

Eine Geldanlage in Höhe von K ·  r -t + D, der Kauf einer Kaufoption sowie ein short sale würden dann sofort einen positiven Geldbetrag und nach Tabelle 8.1 zusätzlich ein wertvolles Recht bei Fälligkeit, nämlich eine Verkaufsoption, ergeben. Dann müßte zusätzlich in den in Tabelle 8.1 aufgeführten Werten für den short sale noch die Dividende bezahlt werden, welcher Betrag auch zusätzlich zur Verfügung stünde, da eine Geldanlage in Höhe von D existiert. 

Dieselben Transaktionen ohne die Geldanlage in Höhe von D sind in Tabelle 8.1 dargestellt. Diese Arbitragebeziehungen gelten dann für den Fall, daß während der Laufzeit der Option keine Dividenden anfallen oder daß die Optionen dividendengeschützt sind. 

Finden während der Laufzeit der Option Dividendenzahlungen statt, so müßten diese für die geliehenen Aktien zusätzlich zu S* bezahlt werden. Das Geld dafür käme aus dem zur Verfügung stehenden Betrag K, da sich der Ausübungskurs von K auf K' = K - D ermäßigte. In Tabelle 3.1 stünde dann K' statt K.  8.3

Die geschilderten Transaktionen brächten einen risikolosen Gewinn.

 

2. Arbitragebeziehungen zwischen Kaufoptionen mit unterschiedlichen Ausübungskursen

(1) Der Wert einer Kaufoption kann niemals geringer sein als der Wert einer anderweitig identischen Kaufoption mit einem höheren Ausübungskurs: 

C(K1) = C(K2), wenn K2 > K1.

(2) Die Differenz des Wertes von zwei anderweitig identischen Kaufoptionen ist niemals größer als die Differenz der Ausübungskurse:

K2 - K1 = C(K1) - C(K2), wenn K2 > K1.

(3) Von drei anderweitig identischen Kaufoptionen mit den Ausübungskursen K3 > K2 > K1 kann der Wert der mittleren Kaufoption nicht größer sein als der gewogene Durchschnitt der äußeren Kaufoptionen, wobei die Gewichte für die erste Kaufoption

(K3 - K2)/(K3 - K1) und für die dritte Kaufoption 
(K2 - K1)/(K3 - K1) sind:
C(K2) < [(K3 - K2)/(K3 - K1)]
· C(K1) + [(K2 - K1)/(K3 - K1)] · C(K3).

(Bedingung der Konvexität von C in Abhängigkeit von K.)

Die drei Sätze seien an einem Zahlenbeispiel für eine amerikanische Option erläutert: 8.4

Aktienkurs S = 240, 
annualisierte Volatilität ó= 0,25,
inländischer Zinssatz id = 9% p.a.,
stetige Dividendenrendite d = 1,67 % p.a.,
Laufzeit der Kaufoption in Jahren T = 1.

Beispiel für Satz (1): K1 = 220, K2 = 260, C(220) > C(260) = 43 > 22.

Beispiel für Satz (2): 260 - 220 > 43 - 22.

Beispiel für Satz (3): K1 = 220, K2 = 240, K3 = 260;
(260 - 240)/(260 - 220) = 0,5;
(240 - 220)/(260 - 220) = 0,5;
31,5 <
0,5 · 43 + 0,5 · 22= 32,5.

Wenn die erste Bedingung verletzt wäre, so könnte man die billigere Kaufoption mit K = 220 kaufen und die teurere mit K = 260 verkaufen, wodurch man sofort einen Zahlungsüberschuß. Wäre bei Ausübung S* < 220, verfielen beide Kaufoptionen wertlos, bei S* > 260 hätte man noch einmal einen Zahlungsüberschuß in Höhe der Differenz der Ausübungspreise von 40, und bei Kursen 220 < S* > 260 läge der zusätzliche Zahlungsüberschuß zwischen null und vierzig.

Auch wenn die Bedingung 2 nicht erfüllt wäre, wenn also die positive Differenz der Ausübungskurse zweier Optionen kleiner wäre als die negative Differenz ihrer Preise, so wäre es sinnvoll, die Kaufoption mit dem höheren Preis zu verkaufen und die Kaufoption mit dem niedrigeren Preis zu kaufen. Der Zahlungsüberschuß im gegenwärtigen Zeitpunkt wäre dann auf jeden Fall höher als die Differenz der Ausübungskurse bei einer evtl. Ausübung der Optionen.

Die Differenz zwischen

1. der Differenz der beiden Optionspreise und

2. der Differenz der beiden Ausübungskurse

ist die Untergrenze des Gewinns aus dem Arbitragegeschäft; die Differenz der beiden Optionspreise ist die Obergrenze des Gewinns aus dem Arbitragegeschäft. Die Untergrenze des Gewinns wird realisiert, wenn beide Optionen ausgeübt werden, die Obergrenze wird realisiert, wenn keine Option ausgeübt wird.

Der dritte Beweis soll hier nicht geführt werden, da er relativ kompliziert ist.  8.5 Die folgende Abbildung gibt den Zusammenhang zwischen dem Ausübungskurs und dem Wert einer Kaufoption wieder.

Abb. 8.2: Grenzen des Werts einer Kaufoption in Abhängigkeit vom Ausübungskurs

3. Arbitragebeziehungen zwischen Kaufoptionen mit unterschiedlichen Verfallzeiten

Der Wert einer amerikanischen Kaufoption kann niemals kleiner sein als der Wert einer anderweitig identischen Kaufoption mit einer kürzeren Verfallzeit: C(t2) = C(t1), wenn t2 > t1.

Wenn es anders wäre, würde man die Option mit der längeren Laufzeit kaufen und die Option mit der kürzeren Laufzeit verkaufen und erhielte sofort einen Zahlungsüberschuß. Würde man aus der Option mit der kürzeren Laufzeit als Stillhalter in Anspruch genommen, so könnte man als Inhaber der Option mit der längeren Laufzeit diese jederzeit ausüben.

Weiterhin sollte eine Kaufoption niemals vor Fälligkeit ausgeübt werden, es sei denn, während der Laufzeit der Option fallen Dividenden an und die Option ist nicht dividendengeschützt. Dann kann sich die Ausübung lohnen, wenn der Gegenwartswert der anfallenden Dividenden größer ist als der Gegenwartswert der Zinsen, die gespart werden können, wenn man die Option erst bei Fälligkeit ausübt. Der Wert der Kaufoption fällt bei vorzeitiger Ausübung von z.B. C(S, t1) auf die Kurve des inneren Wertes (Abb. 8.3).

Abb. 8.3: Untergrenzen des Werts von Kaufoptionen mit unterschiedlichen Laufzeiten für t2 > t1

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